Mathematische Spiele und Knobelaufgaben

Seit 1982 bin ich an der Robert-Koch-Schule in Clausthal-Zellerfeld für die Herausgabe, Durchführung und Auswertung von bisher 53 Runden des Mathematik- und Knobelwettbewerbs für die Klassen 7 bis 10 verantwortlich.

Dieser Wettbewerb soll dazu dienen, daß die Schüler durch die Bearbeitung mathematischer Probleme, von Knobelaufgaben oder mathematischen Spielen unterhaltsame Seiten der Mathematik erkennen, mehr für die Mathematik begeistert werden und vielleicht den Denksport zum Hobby machen.

Nachfolgend sind einige der gestellten Aufgaben aufgeführt.
Hinweis: Ich konnte bisher hier nur solche Aufgaben aufnehmen, bei denen keine Grafiken notwendig waren.


1. Aufgabe:

Stelle die Zahl 6 mit Hilfe geeigneter mathematischer Verknüpfungen oder/und Schreibweisen jeweils aus drei gleichen Zahlen dar, und zwar entweder aus drei Einsen oder aus drei Zweien oder aus drei Dreien oder . . . oder aus drei Neunen dar. (Beispiel: 2 + 2 + 2 = 6)

2. Aufgabe:

In einem Dorf hat jedes Kind ein Haustier - entweder einen Hund oder eine Katze. Zudem besitzen die Kinder gemeinsam einige Pferde. Im Dorf wohnen zwei Jungen mehr als Mädchen. 60% der Mädchen und zwei Drittel der Jungen haben eine Katze. Die anderen Kinder haben also einen Hund. Ein Drittel der Katzen sind Angorakatzen. Es gibt zwei Pferde mehr als Angorakatzen, aber es gibt viermal so viele Kinder wie Pferde. Wie viele Hunde leben in dem Dorf?

3. Aufgabe:

Vater und Sohn haben nur ein Pferd. Sie wollen eine 60 Kilometer lange Reise machen, doch das Pferd kann nur einen der beiden tragen. In einer Stunde kann das Pferd (mit Reiter) 12 Kilometer, der Vater 6 und der Sohn 8 Kilometer jeweils zu Fuß zurücklegen.

Nach welcher Zeit können Vater und Sohn ihr Ziel erreichen, wenn vorausgesetzt wird, daß das Pferd nicht selbst den Weg zurück zum nachfolgenden Fußgänger finden kann, sondern ggf. angepflockt werden muß?

4. Aufgabe:

Welches ist die kleinste Zahl, die Folgendes erfüllt:

Sie ergibt durch 18 geteilt den Rest 17; durch 17 geteilt den Rest 16; durch 16 geteilt den Rest 15 usw.. Am Ende heißt der Rest 1, wenn die Zahl durch 2 geteilt wird.

5. Aufgabe:

Ein Junge hat 28 Plastikplättchen, auf denen jeweils eine Ziffer steht, aneinandergereiht, so daß eine 28stellige Zahl entstanden ist. Der Vater entfernt aus der Ziffernreihe 10 Plättchen, und zwar eine Null, eine Eins, eine Zwei, eine Drei, eine Vier, eine Fünf, eine Sechs, eine Sieben, eine Acht und eine Neun. Zurück bleibt folgende lückenhafte Zahl:

5_383_8_2_936_5_8_203_9_3_76

Darauf der Vater zu seinem Sohn: "Wenn ich die zehn Ziffern in einer zufälligen Reihenfolge wieder in die Lücken dieser Zahl setze, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit in Prozent, daß die Zahl durch 396 teilbar ist?"

6. Aufgabe:

Wenn wir annehmen, daß ein Wal die vierfache Lebensdauer eines Storches hat, der 85 Jahre länger als ein Meerschweinchen lebt, das 6 Jahre kürzer als ein Ochse lebt, der 9 Jahre kürzer als ein Pferd lebt, das 12 Jahre länger als ein Huhn lebt, das 282 Jahre kürzer als ein Elefant lebt, der 283 Jahre länger als ein Hund lebt, der 2 Jahre länger als eine Katze lebt, die 135 Jahre kürzer als ein Karpfen lebt, der doppelt so alt wie ein Kamel lebt, das 1066 Jahre kürzer als sämtliche zuvor erwähnten Tiere zusammen lebt.
Wie lange lebt jedes der Tiere?

7. Aufgabe:

Als die Bibliotheksdirektorin, Frau Decker, ihre drei Assistentinnen fragt, wie viele Bücher ein bestimmtes Fach fassen könnte, erhält sie folgende Antworten:

Frau Adler: "In das Fach passen 2 Kataloge, 3 Wörterbücher und 3 Lexika."

Frau Braun: "In dem Fach haben 4 Kataloge, 3 Wörterbücher und 2 Lexika Platz."

Frau Christen: "Es passen nur 4 Kataloge, 4 Wörterbücher und 3 Lexika in das Fach."

Nur zwei Assistentinnen machten zutreffende Aussagen.

Beim Versuch, das Fach mit Büchern derselben Reihe vollzustellen, entdeckt Frau Decker, daß dies nur mit einer Buchsorte möglich ist.

Frau Decker benötigt von dieser Sorte 15 Bücher, um das Fach vollzustellen.

Alle Kataloge, Wörterbücher und Lexika waren jeweils gleich dick.

Mit welcher Büchersorte konnte Frau Decker das Fach exakt vollstellen?

8. Aufgabe:

"Runde" Geburtstage sind solche, deren Zahl mit einer 0 endet. In anderen Kulturen gibt es andere Zahlensysteme, in denen etwa die 12er-Zahlen "runde" Geburtstage sind. Statt des 10., 20. oder 30. würde man dort den 12. ( 10), den 24. ( 20) oder 36. ( 30) Geburtstag feiern.

Gewisse Geburtstage zeichnen sich dadurch aus, daß sie in mehreren Zahlensystemen "rund" sind. So ist der 6. Geburtstag gleich dreifach "rund", weil sich die 6 im Sechsersystem als 10, im Dreiersystem als 20 und im Zweiersystem als 110 schreiben läßt.

Noch "runder" wird der Geburtstag, wenn sich die Jahreszahl als eine Reihenfolge "runder" Zahlen ergibt. In diesem Sinne ist die 6 nur "doppelt-rund", da nur die 10 (aus dem Sechsersystem) und die 20 (aus dem Dreiersystem) eine Reihenfolge bilden. (Die 110 aus dem Zweiersystem paßt nicht dazu.)

Welcher Geburtstag unter 100 Jahren ist der "rundeste"?

9. Aufgabe:

In einem Brief eines Völkerkundlers aus Knusiland steht:

In Bebi ist ein Psychater umgebracht worden. Verdächtig sind die vier Patienten, die am Mordtag im Wartezimmer besessen und nacheinander das Zimmer des Arztes betreten hatten, wo jeder allein mit dem Doktor gewesen war. Die vier Herren sind Bebianer, also Leute, die mit jeder Aussage die Unwahrheit sagen. Ihre Namen sind Ali, Eli, Ili und Oli.

Vor der Polizei (bebische Polizisten sind Abianer und lügen nie) machten die Verdächtigen diese acht Aussagen:

Ali: "Als ich das Behandlungszimmer betrat, war der Arzt schon tot. Der Mörder ist nicht nach mir in dem Zimmer gewesen."

Eli: "Von uns vieren war ich der zweite, der das Behandlungszimmer betrat. Der Arzt war schon tot, als ich in das Zimmer kam."

Ili: "Als ich das Zimmer des Arztes verließ, lebte er noch. Keiner von uns vieren hat den Arzt umgebracht."

Oli: "Ich betrat als dritter das Zimmer. Als ich es verließ, lebte der Arzt noch."

Wer war der Mörder?

10. Aufgabe:

Fritz liest in der Zeitung. "Paßt einmal auf, was die da schreiben. Sie haben ermittelt, welches die sieben am häufigsten übersetzten Autoren sind. Es handelt sich um folgende Autoren: Enid Blyton, Tolstoi, Jules Verne, Agatha Christie, Lenin, Karl Marx, Georges Simenon. "Was meint Ihr, in welcher Reihenfolge die Autoren genannt werden?" Diese Frage richtet er an seine drei Brüder Theo, Uwe und Werner.
Theo meint: 1. Lenin, 2. Agatha Christie, 3. Enid Blyton, 4. Karl Marx, 5. Georges Simenon, 6. Tolstoi, 7. Jules Verne.
Uwe dagegen hält folgende Reihenfolge für richtig: 1. Agatha Christie, 2. Tolstoi, 3. Jules Verne, 4. Karl Marx, 5. Georges Simenon, 6. Lenin, 7. Enid Blyton.
"Hervorragend!" sagt Fritz anerkennend. "Uwe hat die Plazierung von 4 Autoren richtig erraten, Theo sogar von 5 Autoren!" Nun kann Werner nach kurzem Überlegen die richtige Reihenfolge nennen. Wie lautet diese und warum?

11. Aufgabe:

Bestimme alle Tripel (das sind Drillinge von Zahlen, z.B. {7, 8, 9}) voneinander verschiedener natürlicher Zahlen x, y und z, die paarweise teilerfremd sind und die Eigenschaft haben, daß die Summe von je zweien durch die dritte Zahl teilbar ist.

12. Aufgabe:

In einer Schachtel befinden sich 71 Bonbons von 4 unterschiedlichen Sorten. Es sind doppelt so viele Zitronenbonbons wie Himbeerbonbons. 1 Milchbonbon weniger als Himbeerbonbons und 6 Traubenbonbons weniger als Zitronenbonbons in der Schachtel.

Wie viele Bonbons muß man aus der Schachtel herausnehmen, um mindestens 2 von gleicher Sorte zu erhalten? Wie viele Bonbons muß man der Schachtel entnehmen, wenn mindestens 2 Sorten dabei sein sollen?

13. Aufgabe:

Es war einmal ein Ladenbesitzer, der außer seinem normalen Gewinn eine kleinere Summe in 1 Mark-, 50 Pfennig- und 10 Pfennig-Stücken beiseite gelegt hatte.
Dieses Geld bewahrte er in acht Beuteln auf, die gleiches Aussehen hatten. Außerdem waren in jedem Beutel gleich viele Geldstücke von jedem Betrag. Eines Tages wollte der Ladenbesitzer das Geld in nur sieben Beutel legen, auch diesmal mit der gleichen Zahl Münzen von jedem Betrag in jedem Beutel. Am folgenden Abend verringerte er dann die Zahl der Beutel auf sechs, wiederum mit derselben Anzahl Münzen von jedem Betrag in jedem Beutel.
Am nächsten Abend wollte der törrichte Geizhals dann den Versuch mit nur fünf Beuteln wiederholen, doch nach vielen Stunden vergeblicher Bemühungen mißlang ihm sein Vorhaben gänzlich. Er bekam einen Schlaganfall und starb.
Was ist der kleinste Betrag, den er beiseite gelegt haben kann?

14. Aufgabe:

Vier Schüler konnten sich im Schulbus überhaupt nicht einigen, wie alt ihre neue Lehrerin sei. Einig waren sie sich nur, daß sie alt sein mußte.
"Sie ist 24", meinte einer, aber das hielten die drei anderen für reichlich untertrieben. Sie schätzten auf 27 und 31, einer sogar auf 39 Jahre.
Keiner von ihnen hat das richtige Alter erraten. Doch eine Mutmaßung war nur um ein Jahr, eine andere um drei Jahre, eine dritte um sechs Jahre und eine vierte um neun Jahre falsch.
Wie alt war die Lehrerin?

Aufgabe 51.2:

Prof. Sandsturm hatte vor einigen Wochen die Idee, eine Wüstenexpedition in die Sahara zu starten. Eine Gruppe von Wissenschaftlern sollte das Verhalten einer bestimmten Gattung dort lebender Wüstenkäfer stu-dieren. Kurz darauf wurde die Expedition auch durchgeführt. Eines Tages befanden sich Sandsturm und weitere 45 Wissenschaftler mitten in der Sahara, als plötzlich eine Oase auftauchte. Nachdem sie ihren Durst mit Wasser gestillt hatten, entdeckten sie einige Bäume. Diese trugen Früchte, die keiner der Wissenschaftler je zuvor ge-sehen hatte. Sie nannten sie daher einfach "Wüstenfrüchte". Sie begannen zu schätzen, wie viele Wüsten-früchte die Bäume wohl tragen mochten. "Höchstens 7000 Stück", meinte Prof. Sandsturm. Daraufhin wurden alle Früchte gepflückt, und es waren tatsächlich weniger als 7000 Stück. Allerdings waren einige schon faulig und mußten aussortiert werden. Unter den Wissenschaftlern war auch ein Mathematiker, der feststellte, daß genau % der Früchte faulig waren. Der Rest der Früchte ließ sich genau unter den 46 Personen aufteilen, so daß jeder gleich viel bekam.

Aufgabe 51.3:

Pythagoräische Zahlen sind Tripel (d.h. Drillinge) natürlicher Zahlen, welche die Gleichung er-füllen. Meist werden sie nach ihrer Herkunft geometrisch gedeutet, und zwar als Maßzahlen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, in dem a und b die Katheten und c die Hypotenuse ist. (z.B. (5; 12; 13) oder (8; 15; 17)) a) Gibt es pythagoräische Tripel mit drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen? Wenn ja, wie heißen sie und wie viele gibt es? b) Du wirst kein Glück haben, 4 aufeinanderfolgende (natürliche) Zahlen zu finden, die die Gleichung erfüllen. Berechne aber alle jene Quintupel (d.h. Fünflinge) aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen mit der Gleichung (Hinweis: Setze zur Vereinfachung b = n)

Aufgabe 52.2:

100 Außerirdische trafen sich auf der Erde zu einer intergalaktischen Konferenz. 73 hatten zwei Köpfe, 28 hatten drei Augen, 21 hatten vier Arme, zwölf hatten zwei Köpfe und drei Augen, neun hatten drei Augen und vier Arme, und acht hatten zwei Köpfe und vier Arme. Drei hatten alle dieser Merkmale. Wie viele hatten keines der Merkmale?

Aufgabe 52.4:

Herr Flunker wird nach seiner Lieblingszahl gefragt. Er macht über diese Zahl folgende Aussagen: (1) Der Nachfolger der Zahl ist nicht durch 3 teilbar. (2) Die Zahl läßt bei der Division durch 5 einen anderen Rest als bei der Division durch 7. (3 ) Die Zahl ist größer als 800. (4) Der Vorgänger der Zahl ist nicht durch 8 teilbar. (5) Der Rest bei der Division der Zahl durch 7 ist kleiner als 3. (6) Der Rest bei der Division der Zahl durch 5 ist größer als 3. Nun wissen wir dass alle Aussagen des Herrn Flunker falsch sind. Wie lautet seine Lieblingszahl?

Aufgabe 53.2:

Sechs Personen, alle miteinander verwandt, machen eine Wanderpartie. Sie kommen zu einem Fluß, den sie überqueren müssen. Ihnen steht ein kleines Ruderboot zur Verfügung, das jeweils zwei Personen aufnehmen kann. Leider gibt es Ärger in der Familie. Herr Markus, der die Überfahrt leiten soll, hat gerade vorher einen Streit mit Schwiegervater und Sohn gehabt. Und Frau Markus spricht schon lange nicht mehr mit ihrer Mutter und Schwiegertochter. Die Streitereien sind so heftig, daß es sich nicht empfiehlt, zwei Zerstrittene im gleichen Boot rudern bzw. an einem der Ufer allein stehen zu lassen. Um die Lage weiter zu erschweren, dürfen kein Mann allein mit zwei Frauen bzw. zwei Männer allein mit drei Frauen an einem Ufer warten. Wie wird die Überfahrt arrangiert, damit alle bei möglichst wenigen Fahrten ans andere Ufer gelangen? Kein Familienmitglied kann schwimmen, also müssen alle mit dem Boot hinüber.

Aufgabe 53.3:

Vielleicht kennst Du die knifflige Aufgabe, bei der man mit zehn Zündhölzern ein reguläres Fünfeck plus fünf gleichseitiger Dreiecke bilden soll. Die Lösung findet, wer dreidimensional denkt und die Hölzer analog der Zeichnung anordnet. Hier nun ist eine Aufgabe, die zweidimensional zu lösen ist, also mit allen zehn Zündhölzern auf dem Tisch liegend. Lege 10 Streichhölzer so, daß sie zwei reguläre Fünfecke sowie fünf gleichschenklige Dreiecke bilden. Wie ist das machbar?

Lösungen

Aufgabe 51.2:

29, % der Früchte waren faulig. Diesen Wert muß man zuerst in einen Bruch umwandeln: x = 0,29 (1) 100 x = 29, (2) 1000 x = 2914, Nun subtrahieren wir (1) von (2): 9900x = 2914, - 29, 9900x = 2885 Daher ist x = d. h. von 1980 Früchten sind 577 faulig und 1403 genießbar. 1403 Früchte lassen sich jedoch nicht gerecht unter 46 Personen aufteilen. Daher muß der Bruch mit 2 erweitert werden, so daß von 3960 Wüstenfrüchten 2806 in Ordnung sind und jeder 61 Wüstenfrüchte bekommt. Natürlich könnte man den Bruch noch einmal mit 2 erweitern, so daß jeder 122 Früchte bekommen hätte. Die Bäume hätten dann allerdings mehr als 7000 Früchte getragen, weshalb 61 Wüstenfrüchte die richtige Lösung ist.

Aufgabe 51.3:

a) Die 3 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen seien (n - 1), n und (n + 1); dann gilt: Es gibt damit nur 1 Tripel aufeinanderfolgender pythagoräischer Zahlen, nämlich (3; 4; 5). b) Die Gleichung des Aufgabentextes lautet damit: Das Minuszeichen ist unbrauchbar. Also folgt: Das einzige Quintupel ist (10; 11; 12;13; 14). Der Super-Pythagoras lautet:

Aufgabe 52.2:

Folglich haben 100 - 56 - 9 - 3 - 5 - 7 - 6 - 10 = 4 Außerirdische keines der drei Merkmale!

Aufgabe 52.4:

Es galt: (1) Der Nachfolger der Zahl ist nicht durch 3 teilbar. (2) Die Zahl läßt bei der Division durch 5 einen anderen Rest als bei der Division durch 7. (3 ) Die Zahl ist größer als 800. (4) Der Vorgänger der Zahl ist nicht durch 8 teilbar. (5) Der Rest bei der Division der Zahl durch 7 ist kleiner als 3. (6) Der Rest bei der Division der Zahl durch 5 ist größer als 3. Da alle Aussagen des Herrn Flunkrich falsch sind, ergibt die Zahl wegen (1) beider Division durch 3 den Rest 2 und wegen (2) beider Division durch 5 denselben Rest wie beider Division durch 7. Dieser Rest ist wegen (5) größer oder gleich 3 und wegen (6) kleiner oder gleich 3. also gleich 3. Wegen (4) hat die Zahl bei der Division durch 8 den Rest 1. Ferner ist wegen (3) die Zahl nicht größer als 800. Nun gibt es we-gen 3 · 5· 7 · 8 =840 und 840 > 800 höchstens eine natürliche Zahl a £ 800, die (7) bei der Division durch 3 den Rest 2 (8) bei der Division durch 5 den Rest 3 (9) bei der Division durch 7 den Rest 3 (10) bei der Division durch 8 den Rest 1 hat. Wegen (10) ist a eine der Zahlen 9,17,25,33, ..., 793 und wegen (9) eine der Zahlen 17, 17 +8 · 7=73, 17+2 · 56,.... ,17+ 13 · 56; also wegen (8) eine der Zahlen 73, 73 + 8 · 7 · 5 = 73 + 280 = 353, 73 + 2 · 280 = 633; also wegen (7) a = 353. Die Lieblingszahl von Herrn Flunkrich ist 353.

Aufgabe 53.2:

Neun Überfahrten sind notwendig: Bem.: Bei der folgenden Lösung wird vermieden, daß Herr Markus mit Schwiegervater oder Sohn bzw. Frau Markus mit Mutter oder Schwiegertochter auch zusammen mit anderen auf einer Uferseite warten müssen (Risikominderung!)! 1. Eheleute Markus rudern hin. 2. Frau Markus rudert zurück. 3. Mutter und Schwiegermutter von Frau Markus rudern hinüber. 4. Hcrr Markus rudert zurück. 5. Sohn und Schwiegervater von Herrn Markus rudern hinüber. 6. Die Schwiegertochter rudert zurück. 7. Herr Markus und die Schwiegertochter rudern hinüber. 8. Herr Markus rudert zurück. 9. Herr und Frau Markus rudern hinüber.

Aufgabe 53.3:

Die Aussage "5 gleichseitige Dreiecke" meinte "5 kongruente (gleichschenklige) Dreiecke", nicht "5 jeweils für sich gleichseitige Dreiecke".


Fragen und Anregungen bitte an:

Axel Franke

eMail to franke@rks.harz.ni.schule.de bzw. Axel.Franke@tu-clausthal.de